有限域(Galois域)

有限域又称伽罗瓦(Galois域)。
设K是一个特征为p的有限域，则素域\(F_p\)为其子域。将其视为\(F_p\)上的线性空间，设维数为n，取一组基\(u_1,\cdots, u_n\).于是K中每个元素可以唯一表示为线性组合\[a=a_1u_1+\cdots+a_nu_n,a_i\in F_p.\]所以K恰有\(p^n\)个元素。

非零元素集\(K^*\)有\(p^n-1\)个元素，形成了一乘法群，故每个元素都是\(x^{p^n-1}-1=0\)的根。因此K中每个元素都是\(x^{p^n}-x=0\)的根。另一方面，该方程至多\(p^n\)个根，所以K的元素恰好是\(x^{p^n}-x=0\)的全部根。

定理. 对每个素数p和正整数n，存在唯一的具有\(p^n\)个元素的域，即为\(x^{p^n}-x=0\)在\(F_p\)上的的分裂域。一般记为\(GF(p^n)\).

Frobenius同构. 利用特征为p的性质：\(a^p+b^p = (a+b)^p,\) 可以证明\(GF(p^n)\)的到自身的映射\(\sigma : x \mapsto x^p\)是\(GF(p^n)\)的自同构。特别地，它还是一个\(F_p\)自同构。

推论. \(GF(p^n)\)中每个元素都可以开p次方。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-12-16