嵌入与可分性的关系

定义.
(1) 设K/F有限，E/F正规，且\(F\subset K \subset E.\)设\(L/F\)为一中间域，如果嵌入同态\(\tau : L\to E\)保持F中的元素不动，称\(\tau\)为L到E的一个F嵌入，或F同态。
(2) 对于(1)中条件下的两个中间域\(F\subset L_1\subset L_2\subset K\)，各有一个F嵌入\(\tau_1,\tau_2\)且\(\tau_2\)限制在\(L_1\)上时恒等于\(\tau_1\), 则\(\tau_2\)称作\(\tau_1\)在\(L_2\)上的一个开拓。

考虑K/F的中间域L，及L上的一个嵌入\(\tau\), 一个在L上的不可约多项式\(g(x)\).
引理1. 如果\(g(x)\)在K内有一根a，则其在\(\tau\)下的像\(g^{\tau}(x)\)在\(E[x]\)内分裂。
取\(f(x)\)为a在F中的极小多项式，因为E/F正规，\(a\in K\subset E\), 所以\(f(x)\)在E内分裂。另一方面，因为\(g(a)=f(a)=0\), 将它们都视为L上的多项式，因为g不可约，所以\(g|f.\)以\(\tau\)作用于\(f=gh,h\in L[x],\) 因为f在\(\tau\)下不变，所以\(g^{\tau}|f.\)综上，\(g^{\tau}\)在E内也分裂。

引理2. 条件同上。任取\(\alpha \in K,\)则\(\tau\)在L上的不同开拓数\(N(\tau,L(\alpha))\)等于\(\alpha\)在L上的极小多项式的不同根的个数。
取\(g(x)\)为\(\alpha\)在L上的极小多项式，根据引理1，\(g^{\tau}\)在E上分裂，设为\[g^{\tau} = (x-b_1)(x-b_2)\cdots (x-b_r),\ r=[L(\alpha):L].\]一方面，考虑\(\tau\)在\(L(\alpha)\)上任一开拓\(\sigma\)，因为\(g(\alpha)=0\)，所以\(\sigma(\alpha)\)也一定是\(g^{\tau}\)的根。
因为\(L(\alpha)/L\)是单扩张，且任两个开拓\(\sigma_1,\sigma_2\)限制在L上是相同的。因此，\(\sigma\)被\(\sigma(\alpha)\)唯一确定。
另一方面，如果令\(\sigma(\alpha)=b_i\)，我们说明这确实是一个合法的开拓。在分裂域与正规扩张引理2中，若考虑域同构\(\tau:L\to \tau ( L)\)，并且\(\alpha , b_i\)分别是两个对应的不可约多项式\(g(x),g^{\tau}(x)\)的根，所以存在(唯一的)同构开拓：\(\sigma : L(\alpha)\to \tau(L)(b_i)\), 并且显然\(\tau(L)(b_i) \subset E.\)

推论. \(N(\tau,L(\alpha))\le [L(\alpha),L],\) 等号成立当且仅当\(\alpha\)是L上的可分元。\(N(\tau,L(\alpha))\)与\(\tau\)的选取无关，等于\(L\to L(\alpha)\)的嵌入数（取\(\tau = id.\) )
定理3. 设K/F有限，E/F正规且包含K. 则K到E内的F嵌入数\(\le [K:F]\)，等号成立当且仅当K/F可分。
将K写成单代数扩张链，用归纳法即可。

定理3的证明思路本质上与分裂域的同构开拓定理的证明类似，都是先讨论单扩张的情形，再利用归纳法推广到一般情况。

推论. 设E/F有限正规，G为E的全部F自同构组成的群，则\[|G|\le [E;F]\],等号成立当且仅当E/F可分。

定理4. 设L为有限扩张K/F中间域. 则K/F可分当且仅当K/L，L/F都可分。
这里我们利用嵌入数等式：\[N(F,K)=N(F,L)\cdot N(L,K).\]事实上，定理4对代数扩张也成立。

推论1. 在代数扩张中，可分元素的在四则运算下封闭。
因此，我们可以给出可分闭包的概念：设K/F为代数扩张，用\(K_s\)表示K中全部可分元的集合，则\(K_s\)为一中间域，称为可分闭包。
当F的特征为0时，\(K_s = K.\)
当F的特征为p时，若\(K_s \ne K,\alpha \in K,\) \(\alpha\)在\(K_s\)上极小多项式\(f(x)\)可以写成\(g(x^{p^e})\), g不可约、可分(可分性见可分扩张中的推论).而\(b = a^{p^e}\)是g的根，所以b可分，故\(b \in K_s.\) 所以g只能是\(g(x)=x-b.\) 综上，\(f(x) = x^{p^e}-b.\)
当\(a\notin K_s\)时, \(e\ge 1.\)这种元素叫做\(K_s\)上的纯不可分元素，\(f(x)\)为\(K_s\)上的纯不可分多项式，K称作\(K_s\)的纯不可分扩张。

推论2. 可分多项式的分裂域可分。

定理5. 有限扩张E/F是可分正规的充要条件是E是F上一个可分多项式的分裂域。

    所属分类：抽象代数     发表于2021-12-16